課程編号：ab071931018---19

課程名稱：醫用數學AI---AII

課程英文名稱：Medical Mathematics AI---AII

學時/學分：140/9.0（課堂講授120，習題課20）

課程類别：普通教育課程

課程性質：必修課

适用專業：七年制、八年制臨床醫學、口腔等專業

開課學期：第Ｉ---Ⅱ學期

考核方式：考試（閉卷）

一、課程的性質、目的和任務

醫用數學A包括高等數學、工程數學。高等數學、工程數學課程是醫科院校七年

制各專業學生一門必修的公共基礎理論課。通過這幾門課程，使學生在掌握一定的高等數學與工程數學的基本的知識和方法的基礎上，逐步培養學生的最基本的數學素質(抽象概括問題的能力，邏輯推理能力，運算能力)和自學能力；并結合醫學實例讓學生了解數學在醫藥學中的一些簡單的應用，從而進一步培養學生分析問題和解決問題的能力，提高他們的科學素養：嚴謹而具有邏輯性，并能從紛雜的數學據中，通過數學方法的自理抽象出科學的結論。總之，這幾門課程是為培養我國現代化建設所需要的高層次醫學人才服務的。

通過本課程的學習，使學生獲得：

⑴ 一元函數微積分學；

⑵ 多元函數微積分學；

⑶ 常微分方程；

⑷ 線性代數；

⑸ 概率論。

等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能的同時，為後續課程的學習奠定必要的數學基礎。

二、本課程的教學基本要求

（一）、高等數學

1．緒論、函數、極限

⑴ 明确數學方法在醫學定量研究中的作用；

⑵ 确立醫學生學習數學的目的；

⑶ 了解數學在醫學應用中的曆史及發展動态；

⑷ 了解本課程曆史、研究對象與方法；

⑸ 理解函數的概念。會求函數的定義域、表達式及函數值，了解分段函數的概念；

⑹ 理解和掌握函數的奇偶性、單調性、周期性和有界性；

⑺ 掌握基本初等函數的性質及其圖形；

⑻ 理解複合函數的概念，熟練掌握複合函數的分解過程。了解初等函數的概念；

⑼ 理解極限的概念；會求函數在一點的左、右極限。了解函數在一點極限存在的

充要條件；

⑽ 了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則；

⑾ 熟練掌握運用兩個重要極限求極限的方法；

⑿ 理解無窮小量的概念，了解無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質及無窮小量

階的比較；

⒀ 理解函數在一點連續與間斷的概念；會判斷函數在一點的連續性；會求函數的間斷點，并會判斷其類型；

⒁ 了解閉區間上連續函數的性質；會用介值定理推證一些簡單的命題；

2．一元函數的微分學

⑴ 理解導數的概念，了解導數的幾何意義，會求分段函數的導數；了解函數的連

續與可導的關系，會求曲線上一點處的切線方程及法線方程；

⑵ 熟練掌握基本初等函數的導數公式、導數四則運算法則；

⑶ 熟練掌握複合函數的求導法則，了解反函數的求導法則；

⑷ 掌握隐函數求導法、對數求導法；

⑸ 理解高階導數的概念，會求一些簡單函數的n階導數；

⑹ 理解微分的概念，了解可導與可微之間的關系。掌握微分的運算法則，會運用法則求函數的一階微分；

⑺ 理解中值定理及其幾何意義，會用該定理證明簡單的不等式和恒等式；

⑻ 熟練掌握運用法則求“”、“”、“0·∞”、“∞-∞”、“1”、“0” 和 “∞”未定式極限的方法；

⑼ 會用導數判斷函數的單調性，并證明簡單的不等式；

⑽ 理解函數的極值、最值概念，掌握利用導數求函數的極值、最值的方法，并且會解簡單的有關最值的應用問題；

⑾ 了解曲線的凸、凹和拐點的概念，會判斷曲線的凸凹性，會求曲線的拐點；

⑿ 會求曲線的水平、垂直漸近線、斜漸近線；

⒀ 掌握函數繪圖的基本步驟，會作出簡單函數的圖形；

⒁ 了解泰勒公式的有關概念，掌握展開方法。

3．不定積分

⑴ 理解原函數與不定積分的概念及其關系。掌握不定積分的性質，了解不定積分的幾何意義；了解原函數存在定理；

⑵ 熟練掌握不定積分的基本公式及直接積分法；

⑶ 熟練掌握不定積分換元積分法（第二換元法中，主要介紹三角代換和倒代換）；

⑷ 熟練掌握不定積分分部積分法；

⑸ 了解有理函數的積分法；

⑹ 了解積分表及其使用方法。

4．定積分及應用

⑴ 理解定積分的概念及其幾何意義；了解函數可積條件；掌握定積分的基本性質；

⑵ 理解積分上限函數的概念。熟練掌握對積分上限函數求導數的方法；

⑶ 熟練掌握牛頓—萊布尼茲公式，掌握定積分的換元法和分部積分法；

⑷ 掌握求平面圖形面積、旋轉體體積的方法，了解求平面曲線孤長、函數平均值的方法，了解變力沿直線所做的功的求法；

⑸ 理解反常積分的概念，掌握其計算方法；了解Γ函數的定義及其簡單性質；會用

Γ函數求一些相應的無窮積分。

5．常微分方程

⑴ 理解微分方程及方程的階、解、通解、特解、初始條件的概念。

⑵ 掌握一階可分離變量微分方程的解法；了解可化為一階可分離變量的齊次微分方程 和的微分方程的解法；

⑶ 掌握一階線性微分方程的解法，了解貝努利方程的解法；

⑷ 會用降階法解、和型微分方程；

⑸ 掌握二階常系數線性齊次微分方程的解法；

⑹ 了解微分方程在醫學方面的應用； 掌握“直接翻譯法”建立數學模型的方法；

掌握一級過程的建模的問題；會建立醫藥學中簡單的數學模型。

6．空間解析幾何

⑴ 掌握空間直角坐标系的概念及空間兩點間的距離公式；

⑵ 了解空間曲面的概念及其方程；

⑶ 知道平面、球面、母線平行于坐标軸的柱面的方程及其圖形；

⑷ 了解空間曲線的概念及其方程；了解空間曲線在坐标平面上的投影；

⑸ 了解幾個常見的二次曲面的概念及其方程：橢球面、雙曲面（單葉雙曲面、雙葉雙曲面）、抛物面（橢圓抛物面、雙曲抛物面）旋轉曲面及錐面；

7．多元函數微分學

⑴ 理解二元函數的概念，了解其幾何意義，會求二元函數的定義域，并能用平面圖形表示其定義域；了解多元函數的概念；

⑵ 了解二元函數極限的概念(計算不做要求) ；

⑶ 了解二元函數連續的概念(計算不做要求)，會求二元函數的間斷點，了解有界閉區域上二元連續函數的性質；

⑷ 理解偏導數的概念，了解二元函數偏導數的幾何意義；

⑸ 了解高階偏導數的概念，掌握一階、二階偏導數求法；

⑹ 了解偏微分的概念，理解全微分的概念，了解全微分存在的充分條件；會求多元函數的全微分；

⑺ 了解全微分在近似計算中的應用；

⑻ 了解二元函數連續、可導與可微的關系。

⑼ 掌握二元複合函數的偏導數求法；

⑽ 掌握由方程所确定的隐函數的偏導數的求法；

⑾了解二元函數極值的概念；會求二元函數的無條件極值；

⑿了解條件極值的概念；掌握拉格朗日乘數法，利用此法會求條件極值；

8．多元函數積分學

⑴ 理解二重積分的概念，了解其幾何意義；

⑵ 掌握二重積分的性質；

⑶ 掌握二重積分的計算方法：直角坐标系下化二重積分為累次積分的方法，極坐标系下化二重積分為累次積分的方法；

⑷ 能根據需要将累次積分形式的二重積分進行換序；

⑸ 會用二重積分解決簡單的應用問題(限于求空間曲面的面積、空間封閉曲面所圍成的立體的體積和平面薄闆的質量)；

（二）線性代數

1．n階行列式

⑴ 了解全排列、逆序數的概念；

⑵ 理解n階行列式定義，掌握對角行列式、上（下）三角行列式及其結果；

⑶ 了解對換、轉置行列式的概念，及對換的有關定理，掌握n階行列式的性質；

⑷ 了解餘子式、代數餘子式的概念；掌握代數餘子式的性質；

⑸ 掌握行列式按行（列）展開法則；

⑹ 掌握Cramer法則；并利用此法則會解線性方程組；

2． 矩陣及其運算

⑴ 理解線性變換、矩陣的概念，并了解兩者之間的關系；了解幾種特殊的矩陣：

n階方陣、行矩陣、列矩陣、n階單位陣、零矩陣、對角陣、負矩陣；

⑵ 掌握矩陣的加、減、乘運算法則及其運算規律；

⑶ 理解矩陣的轉置、方陣行列式、逆陣的概念及其運算規律；了解矩陣的分塊及

其運算法則；

3． 矩陣的初等變換與線性方程組

⑴ 了解矩陣的初等變換、初等方陣、标準型、奇異方陣、滿秩方陣、降秩方陣的

概念；

⑵ 掌握矩陣秩、逆陣的求法，并能熟練求矩陣的秩、逆陣；

⑶ 了解線性方程組、解、通解、相容、不相容和增廣矩陣的概念；

⑷ 掌握用初等變換解線性方程組的方法；

4．向量的線性相關性

⑴ 了解n維向量、零向量、負向量、向量組的概念；

⑵ 掌握向量的線性運算；理解向量的線性組合、線性相關與線性無關的概念；掌

握線性相關性的有關定理；

⑶ 了解向量組的等價概念及其性質；

⑷ 理解向量組的秩、最大無關向量組的概念及其有關性質；掌握矩陣秩的概念；

⑸ 掌握齊次、非齊次方程組的通解結構；

⑹ 理解向量空間，了解子空間、生成空間的概念；理解向量空間的基的概念；

（三）概率論

1．預備知識

⑴掌握排列與組合的常用公式；

⑵掌握集合的關系與運算；

2．随機事件

⑴ 明确随機試驗及随機事件的基本概念和表示方法；

⑵ 掌握事件間的關系及運算，并能靈活運用；

⑶ 掌握基本空間的概念，理解事件與集合之間的關系。

3．随機事件的概率

⑴ 明确古典概型，幾何概型試驗，熟練掌握古典概率及幾何概率的計算；

⑵ 理解事件的頻率、概率的統計意義和二者之間的關系；

⑶ 理解概率的公理化體系及公理化定義，熟練掌握三條公理及常用的概率性質。

4．條件概率 事件的相互獨立性及試驗的相互獨立性

⑴ 理解條件概率，掌握乘法公式；

⑵ 掌握全概率公式與貝葉斯公式，并能熟練運用；

⑶ 理解事件的相互獨立性，掌握判斷和應用的方法；

⑷ 明确重複獨立試驗，掌握二項概率公式，了解小概率事件實際不可能原理的用法；

5．一維随機變量

⑴ 明确随機變量、分布函數的概念，掌握分布函的性質及求法；

⑵ 明确離散型随機變量及其分布密度的概念，熟練掌握二項分布與泊松分布；

⑶ 明确連續型随機變量及其分布密度的概念、性質，熟練掌握正态分布及其計算。

6．二維随機變量

⑴ 了解二維随機變量的概念，掌握聯合分布與邊緣分布的定義、性質及計算；

⑵明确随機變量的獨立性，掌握判斷獨立性的方法。

7．随機變量函數及其分布

⑴ 明确一、二維随機變量函數的概念，掌握随機變量函數分布的求法；

⑵理解De Moivre-Laplace中心極限定理及其應用。

8．随機變數字特征

⑴ 明确數期望的概念，掌握數學期望的性質、計算，及常見分布的數學期望；

⑵ 明确方差的概念，掌握方差的性質、計算，及常見分布的方差；

⑶ 了解協方差、相關系數的概念、性質及計算；

⑷ 了解切比曉夫不等式及大數定律的作用。

三、本課程的教學内容及學時分配

（一）、高等數學 （60+10學時）

1．緒論、函數、極限（6學時）

2．一元函數微分學（16+2學時）

3．一元函數積分學（不定積分、定積分）（16+4學時）

4．常微分方程（8+2學時）

5．多元函數微分學（空間解析幾何簡介、多元函數微分學）（8學時）

6．多元函數積分學（6+2學時）

（二）線性代數 （36+6）

1、n階行列式（8學時）；

2、矩陣及其運算（6+2學時 ）

3、矩陣的初等變換與線性方程組（8+2學時）

4、向量的線性相關性（14+2學時）

（三）概率論 （24+4學時）

1、預備知識（2學時）

2、随機事件（2學時）

3、随機事件的概率（2學時）

4、條件概率 事件的相互獨立性及試驗的相互獨立性（2學時）

5、一維随機變量（4學時）

6、二維随機變量（4+2學時）

7、随機變量函數及其分布（4學時）

8、随機變數字特征（4+2學時）

四、選用教材及主要參考書

1．選用教材：

⑴《醫用高等數學》（第六版） 張選群主編 人民衛生出版社 2013年

（衛生部“十二五”規劃教材，普通高等教育本科“十二五”國家級規劃教材，全國高等醫藥教材建設研究會“十二五”規劃教材，供基礎、預防、臨床、口腔醫學類專業用）

⑵ 《線性代數》（第五版） 同濟大學數學教研室主編 高等教育出版社 2007年

(普通高等教育“十一五”國家級規劃教材)

⑶ 《概率統計簡明教程》 同濟大學應用數學系主編 高等教育出版社 2003年

（普通高等教育本科“十五”國家級規劃教材）

2．主要參考書：

⑴《醫用生物數學》 王穎 安國斌等主編，吉林科學技術出版社，2000年

⑵《高等數學》(第五版) 顧作林主編 人民衛生出版社 2011年

（衛生部“十二五”規劃教材，全國高等醫藥教材建設研究會“十二五”規劃教材，供藥學類專業用）

⑶《高等數學》(第六版) 同濟大學數學教研室主編 高等教育出版社 2007年

⑷《線性代數》 孫蘭芬 陳一巾 浙江大學出版社 1996年

⑸《線性代數》 劉舒強 天津大學出版社 2002年

⑹《高等代數》 張禾瑞 郝鈵新編 人民教育出版社 1982年

⑺《高等代數教程》 王萼芳 清華大學出版社 1997年第一版

⑻《概率論講義》 沈恒範編 人民教育出版社 1966年4月第一版

⑼《概率論與數理統計》 盛驟等主編 高等教育出版社 1979年3月第一版

⑽《概率論與數理統計教程》 楊永發主編 南開大學出版社 2000年11月第一版

五、教學方法和教學手段

課堂講授為主，對部分章節輔以多媒體教學，不定期課堂測驗。

六、關于大綱的說明

1．本大綱是根據衛生部頒發的教學基本要求，并結合我醫學部的具體情況而制定的，是按教學基本要求中的最高要求制定的，執行時可适當調整。

2．本課程必須安排在第一學年，分兩個學期。

第一學期：高等數學（60+10學時）；

第二學期：工程數學（線性代數36+6學時、概率論24+4學時）。

3．本課程的教學環境最好為多功能教室。

建議本課程考試權重平時成績占20%，期末成績占80%。