吉林大學本科生公共數學課程教學大綱

課程編号：ac13931001---3

課程名稱：高等數學AI---AIII

課程英文名稱：Advanced Mathematics AI---AIII

學時/學分：256/12.0（理論講授192學時，習題課64學時）

課程類别：普通教育課程

課程性質：必修課

适用專業：計算機、軟件、物理、材料、電子等專業

開課學期：第Ⅰ---Ⅲ學期

考核方式：考試（閉卷）

一、本課程的性質、目的和任務

高等數學課程是高等學校理工科各專業學生必修的一門重要的基礎理論課。通過本課程的學習，使學生獲得微積分（包括無窮級數和微分方程）的基本概念、理論和方法，為學習後續課程和進一步獲得數學知識奠定基礎。通過本課程的教學，培養學生的數學素質和抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。目的在于為培養我國需要的高素質創新人才，滿足社會的需要服務。

二、 本課程教學基本要求

1．函數 極限 連續

理解函數的概念；掌握函數的表示法；會畫簡單的分段函數的圖形；會建立簡單實際問題中的函數關系式。

理解函數的單調性、有界性、周期性和奇偶性；了解函數與其反函數之間的關系（定義域、值域、圖形）；理解複合函數的概念；掌握基本初等函數的性質及其圖形；理解初等函數的概念。

理解極限的概念；理解函數的左、右極限的概念；了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。

掌握極限的性質和四則運算法則；掌握判斷極限存在的兩個準則，會用它們求極限；熟練掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

理解無窮小和無窮大的概念；掌握無窮小的比較方法，會利用等價無窮小代換求極限；掌握無窮小和無窮大的關系。

理解函數的連續（一點處、區間）的概念；了解一點處左、右連續的概念；了解函數在一點連續和極限存在的關系；會判斷函數間斷點及其類型；掌握初等函數在其定義區間上連續的性質。

理解閉區間上連續函數的有界性定理、最值定理和介值定理，會在實際問題中應用這些性質。了解一緻連續的概念。

2.一元函數微分學

理解導數的概念；了解導數的幾何意義，會求平面曲線在一點處的切線、法線方程；掌握可導性和連續性的關系；掌握基本初等函數的求導公式；掌握函數的四則運算求導法則和複合函數的求導法則，會求反函數的導數；了解左、右導數的概念，會求分段函數的導數。

理解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數；掌握隐函數和由參數方程所确定的函數的一、二階導數，會對數求導法。

理解微分的概念；掌握微分的運算法則，會求函數的微分；掌握可微與可導的關系；了解一階微分形式不變性。

理解Rolle（羅爾）定理、Lagrange（拉格朗日）中值定理；了解Cauchy（柯西）中值定理；掌握用L’Hospital（洛必達）法則求未定式極限的方法；理解Taylor（泰勒）定理。

理解函數極值的概念；掌握用導數判别函數的單調性和求極值的方法；掌握求函數最值的方法和應用；會用導數判斷函數圖形的凹凸性和求函數圖形的拐點；會求平面曲線的水平漸近線、鉛直漸近線和斜漸近線；會描繪簡單函數的圖形；理解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

3．一元函數積分學

理解原函數和不定積分的概念；掌握不定積分的基本公式；理解定積分的概念；掌握不定積分和定積分的性質及定積分的中值定理；理解定積分的幾何意義；了解函數可積的充分條件。

理解變上限定積分所定義的函數的性質，會對其求導數；掌握微積分基本定理—Newton-Leibniz公式；掌握換元積分法和分部積分法；會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。理解兩種反常積分的概念；會計算反常積分，會判斷反常積分的收斂性。

掌握微元法；掌握用定積分求一些幾何量和物理量的應用（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、平行截面面積為已知的立體的體積、功、引力、壓力等）。

4．向量代數與空間解析幾何

理解空間直角坐标系；理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，會求單位向量、方向數、方向餘弦和向量在坐标軸上的投影；掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積和混合積）。

理解平面方程和直線方程的概念；會求平面方程和直線方程；會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角；會求點到平面、點到直線的距離；會判斷平面與平面之間的位置關系（平行、垂直、）；會判斷直線與直線之間的位置關系（平行、垂直、相交）；會判斷平面與直線之間的位置關系（平行、垂直、直線在平面上）。

理解曲面方程和曲線方程的概念；了解常用的二次曲面方程及其圖形；會求以坐标軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐标軸的柱面方程；了解空間曲線的參數方程和一般式方程；了解空間曲線在坐标平面上的投影，并會求其方程。

5．多元函數微分學

理解多元函數的概念；理解n維點集特别是平面點集的概念；理解二元函數的幾何意義；了解二元函數的極限和連續性的概念；理解多元函數偏導數和全微分的概念；掌握偏導數和全微分的求法；掌握多元複合函數一、二階偏導數的求法；掌握隐函數的求導法則。

了解全微分存在的充分條件和必要條件；理解方向導數與梯度的概念及其求法；了解向量值函數及其微分法。

了解空間曲線的切線和法平面及曲面的法線和切平面的概念，會求它們的方程；了解n元函數的二階泰勒公式和二元函數的n階泰勒公式；理解多元函數極值和條件極值的概念；掌握多元函數極值存在的必要條件和二元函數極值存在的充分條件；會求二元函數極值；會用拉格朗日乘數法求條件極值；會求多元函數的最值，并會解決一些應用問題。

6．多元函數積分學

理解二重積分的概念；了解重積分的性質和二重積分中值定理；掌握二重積分的計算方法（直角坐标、極坐标）；會計算三重積分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；了解重積分的變量替換公式；理解第一類曲線、曲面積分的概念，了解它們的性質，掌握它們的計算方法；了解幾何形體上積分的概念。

理解第二類曲線、曲面積分的概念，了解它們的性質，掌握它們的計算方法；了解兩類曲線積分之間的關系；了解兩類曲面積分之間的關系；掌握格林公式；；了解平面曲線積分與路徑無關的條件；會求全微分的原函數；掌握高斯公式；了解斯托克斯公式；了解散度和旋度的概念；了解場論的初步知識。了解含參變量積分确定函數的概念和性質。了解反常重積分的概念。了解Γ函數和B函數的定義和性質。

會用重積分和兩類線面積分求一些幾何量與物理量（體積、曲面面積、弧長、質量、質心、轉動慣量、引力功和流量等）。

7．無窮級數

理解數項級數收斂和發散的概念；理解收斂級數和的概念；掌握級數收斂的必要條件和級數收斂的基本性質；掌握幾何級數與p-級數收斂與發散的條件；掌握正項級數收斂性的比較判别法、比值判别法，會根值法和積分判别法；掌握交錯級數的萊布尼茲判别法；了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念。

理解函數項級數的收斂域及和函數的概念；掌握幂級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法；掌握幂級數運算規則，會求一些幂級數在收斂區間内的和函數；了解函數展開成Taylor級數的充分必要條件；掌握和的Maclaurin展式，會利用它們将一些函數間接展開成幂級數。

理解Fourier級數的概念；了解Fourier級數的收斂定理；了解三角函數系的正交性；掌握将以２π為周期的函數展開成Fourier級數的方法；了解将以2l為周期的函數展開成Fourier級數;會将函數展開成正弦級數和餘弦級數。

８．常微分方程

理解微分方程及其解、階、通解、初始條件、初值問題和特解等概念；掌握可分離變量的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利方程和全微分方程；會用簡單的變量代換解某些一階微分方程；會用降階法解高階微分方程，形如：.。

理解線性微分方程的性質和解的結構；了解常數變易法；掌握二階常系數齊次線性方程的解法；會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、餘弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程；會解Euler方程；會應用微分方程解決一些實際問題。

三、本課程的教學内容及學時分配

1、函數的極限與連續性 (20+6學時）

2、一元函數微分學 (28+10學時）

3、一元函數積分學 (30+12學時）

4、向量代數與空間解析幾何 (10+4學時）

5、多元函數微分學 (28+8學時）

6、多元函數積分學 (34+10學時）

7、無窮級數 (22+6學時）

8、微分方程 (20+8學時）

四、選用教材與主要教學參考書

選用教材

1、大學數學——微積分（上、下冊）第二版，普通高等教育“十一五”國家級規劃教材，李輝來等編，高等教育出版社2010年出版。

2、主要教學參考書

（1）高等數學（上、中、下），歐維義等編，吉林大學出版社，2000年出版。

（2）微積分（上、下），同濟大學應用數學系編，高等教育出版社，2002年出版。